01
什么是特殊角？
说到特殊角我们很快就能想到比如30°、45°、60°、90°等，事实上，之所以以上角能称为特殊角，关键在于这些角的三角函数值特殊，比如同为整十，为什么我们会将60°称为特殊角，而50°便不是，原因很简单，cos60°=1/2，而我们并不知道50°的任一三角函数值．
因此角度特殊不在于这个角是多少度，而在于其三角函数值是否有特殊值，所以除了常见的30°、45°、60°，我们可以扩充一下特殊角的范围．
以及从最后一张图中可得二倍角或者半角的三角函数构造．
比如求tan15°：
tan22.5°：
一般半角三角函数值求法：
一般二倍角函数值求法：
02
坐标系中的特殊角
当我们初次接触到平面直角坐标系时，我们就认识了一、三象限角平分线及二、四象限角平分线，即直线y=x和直线y=-x，在一次函数中我们知道，若两直线平行，则k相等．
综合以上两点，可得：对于直线y=x+m或直线y=-x+m，与x轴夹角为45°．
并且我们还可通过画图与计算得知：
即“y=kx+b的k”与“直线和x轴的夹角”存在某种固定的联系．
关系就是：tanα=k的绝对值（α是直线与x轴的夹角）．
不装了，我摊牌了~
03
特殊角的处理
在坐标系中构造定角，从其三角函数值着手：
思路1：根据三角函数值构造三垂直相似（或全等）；
思路2：通过三角函数值化“角度条件”为“直线k”．
引例：坐标系中的45°角
如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为y=1/2x，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转45°得到直线CD，求CD解析式．
【分析】
思路1：构造三垂直相似（全等）
在坐标系中存在45°角，可作垂直即可得到等腰直角三角形，构造三垂直全等确定图形．
在直线AB上取一点O，过点O作OP⊥AB交CD于P点，分别过M、P向x轴作垂线，垂足为E、F点．
易证△OEM≌△PFO，
故PF=OE=2，OF=ME=1，
故P点坐标为（-1，2），
结合P、M坐标可解直线CD解析式：y=-1/3x+5/3．
构造等腰直角的方式也不止这一种，也可过点O作CD的垂线，
但直角顶点未知的情况计算略难于直角顶点已知的情况，故虽可以做但并不推荐．
思路2：利用特殊角的三角函数值．
过M点作MN∥x轴，则tan∠OMN=tanα=1/2，tan∠CMN=1/3，
考虑到直线CD的增减性为y随着x的增大而减小，故kCD<0，
所以直线CD：y=-1/3(x-2)+1，
化简得：y=-1/3x+5/3．
引例：坐标系中的一般特殊角
如图，在平面直线坐标系中，直线AB解析式为y=1/2x，点M（2，1）是直线AB上一点，将直线AB绕点M顺时针旋转α得到直线CD，且tanα=3/2，求直线CD解析式．
【分析】
在直线AB上再选取点O构造三垂直相似，如下图所示，
易证△PFO∽△OEM，且相似比PO：OM=tan∠PMO=3/2，
即OF=3/2ME=3/2，PF=3/2OE=3，
故P点坐标为(-3/2，3)，
结合P、M点坐标可解直线CD解析式：y=-4/7x+15/7．
本题并不容易从三角函数值本身下手，原因在于角度并不属于我们所讨论的特殊角范围之内，简便的做法只存在于特殊的角中．
认识特殊角，了解特殊角，运用特殊角，就能在复杂问题中找到简便的求法
04
且看中考题
2019盐城中考
【45°的旋转】
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_________．
2018辽阳中考（删减）
【75°的转身】
如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y=1/4×2+bx+c经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标．
2013黑龙江中考
【特殊角的半角】
如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB=90°，OA、OB的长分别是一元二次方程x2-25x+144=0的两个根（OA<OB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DE⊥OB，垂足为E．
（1）求点C的坐标；
（2）连接AD，当AD平分∠CAB时，求直线AD的解析式．
but，思路2不能直接用！不能直接用！
选择填空当然就可以咯~
2019资阳中考（删减）
【不一样的45°】
如图，抛物线y=-1/2×2+bx+c过点A（3，2），且与直线y=-x+7/2交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【写在最后】
坐标系中若涉及特殊角的问题，大概率可作出关于特殊角的直角三角形，接着构造关于特殊角的三垂直全等或相似，从而解决问题，当然方法远不止这一点，本文仅提供一点思路．
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