自然对数有什么“自然”的-e的由来？
牛津英语字典这样定义对数:
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一种特殊的算术函数，由默奇斯顿的约翰·纳皮尔(死于1617年)发明，并制成表格作为一种简化计算的方法对数系统的基本性质是任意两个或两个以上数字的对数之和等于它们乘积的对数。因此，使用对数表使计算机可以用加法和减法来代替比较费力的乘法和除法运算。 |
我们可以快速回顾对数的基本事实如下，
让我们从一个简单的公式开始:
如果已知x, y, z中的任意两个，我们就可以确定第三个:
?如果知道x和y，就可以用求幂的方法求出z。
?如果y和z已知，我们可以执行“提取根”操作来确定x:
如果我们知道x和z，满足 = z 的数y(指数)称为“z的以x为底的对数”，记作 z 。如果从上下文来看，底数x是清楚的，就不需要特意地提到。
因此，对数只是指数，而“指数定律”可以解释为“对数定律”:
= 1 意味着 1 = 0
- = x 意味着 x = 1
- (因此 y = 1 隐含着 x = y)
- · = 意味着 (a·b) = a + logx b
- ( = 意味着 = b· a
特别地, 假设有一个以x为底的对数表，但需要以y为底，即 logy c. ，则得出：
按照底x取对数, 
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因此，从一个底切换到另一个底很容易，这取决于方便性。正如Briggs首先指出的，以10为底的对数特别方便用于以10为底的数字的计算，这是我们的通常做法。通常，以10为底的对数被称为“普通对数”，通常缩写为“”。
当然，我们喜欢以10为基数写数字，这本质上是一种生物学上的意外，这与古代用手指数数字的习惯遥相呼应，其中最常见的天赋是10。(据推测，如果二趾树懒发明了算术，基数为4的树懒可能更常用!)
欧拉首先注意到对数的底数选择有一个更通用的基底。显然，他是第一个把对数看作一个“函数”，而不仅仅是一个便于计算的表格的人。下面是两个对数函数的图。“平坦”曲线是以10为底的对数曲线，“陡峭”曲线是以2为底的对数曲线。换底公式表明任何两条这样的曲线都与一个比例常数有关。
特别是,(正如你可能从绘制的曲线观察到)欧拉做出了简单的观察,这一点,对于x的值接近x = 1, x的对数(任何基地)总是接近于零——事实上,说,x = 1 + y, y与一个非常小的数字, x≈?y,比例常数,决于底b。
值得注意的是，这种近似保留了对数的基本定律
因为y和z非常小时， y·z << y + z .
当然,欧拉认可,常数Kb有些麻烦,因此有这样的合理的要求，如果选择合适的底的对数，使得Kb = 1,也就是说,一个底为b ，对于很小y的值，使logb (1 + y)≈y,。对于下式利用选择的这个底b,我们随着n的无限增加,1/n就变得任意小，
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logb (1 + 1/n) ≈ 1/n. |
两侧同时乘以n,
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logb ≈ 1. |
当n无限增加时，我们得到
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logb limn→∞n = 1, |
或者,
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b = limn→∞ |
因为对数函数是连续的。
因此,对于极限limn→∞,欧拉自然地引进了一个了缩写“e”,是对数的独特底，对于很小的y,有属性logb (1 + y)≈y, 这也许让e的“自然”选择成为对数的底。事实上以e为底的对数通常被称为“自然对数。”在常用对数和自然对数同时出现的书中，常用对数通常写成“log x”，自然对数通常缩写为“ln x”。(在更高级的书中，常用对数很少使用，缩写log x经常用于自然对数!)有关e的来源还可可参考自然对数底e是怎么由来的？
我们也可以很容易地确定其他底的比例常数Kb:
根据换底公式，
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logb(1 + y) = ln(1 + y) / ln b = y / ln b. |
所以
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= 1 / ln b. |
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